Назначение дифференциала

1. Использование исчисления для расчета эластичности спроса
2. Использование исчисления для расчета эластичности спроса
3. Использование исчисления для расчета эластичности спроса
4. Использование счета для расчета ценовой эластичности

страниц по определенной теме

Ниже представлен каталог веб-сайтов, посвященных конкретным областям математики (алгебре, анализ и т. д.), которые не могут быть тематически отнесены к другим категориям ссылок. Ссылки отсортированы п в соответствии с классификацией математических предметов AMS.

00 - общая математика

01 - история и биографии

03 - математическая логика и основы математики

05 - комбинаторика

11 - теория чисел

15 - линейная и многострочная алгебра, теория матриц

18 - теория категорий и гомологичная алгебра

19 - К-теория

20 - теория групп

26 - реальные функции

28 - теория меры и чаки

30 - функции комплексной переменной

33 - специальные функции

34 - обыкновенное дифференциальное уравнение

35 - уравнения в частных производных

42 - анализ Фурье

46 - функциональный анализ

51 - геометрия

53 - дифференциальная геометрия

54 - общая топология

55 - алгебраическая топология

60 - теория вероятностей и случайных процессов

62 - статистика

65 - численный анализ

68 - теоретическая информатика

81 - квантовая теория

83 - теория относительности

90 - исследование операций и математическое программирование

92 - биология и естественные науки

97 - дидактика математики

5 Найдите общее решение разностного уравнения. Дифференциальные уравнения

пройти

Онлайн-решение дифференциального уравнения на ваш сайт, чтобы прикрепить материал к вашему студенту. И отработка практических навыков. Дифференциальные уравнения онлайн. Difura Online, Решения по математике онлайн. Пошаговое решение онлайн задач по математике. Порядок или степень разностного уравнения - высший порядок присоединенных к нему производных. Дифференциальные уравнения онлайн.Процесс решения разностного уравнения называется интегрированием. Задача интегрирования дифференциального уравнения считается решенной, если обнаружена неизвестная квадратурная функция, независимо от того, выражается полученный интеграл окончательно через известные функции или нет. Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн. Все дифференциальные уравнения можно разбить на простые (ODU), которые включают только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (DRRD), где входящие функции зависят от многих переменных.Дифференциальные уравнения онлайн. Существуют также стохастические разностные уравнения (SDU), включающие случайные процессы. Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн. В зависимости от сочетания производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения делятся на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные и неоднородные. Из-за важности использования в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старых производных) дифференциальные уравнения в частных производных.Решения дифференциальных уравнений делятся на общие и частные решения. Дифференциальные уравнения онлайн. К общим решениям относятся неопределенные константы и уравнения в частных производных — любые функции от независимых переменных, которые можно уточнить дополнительными условиями интегрирования (предусловия для обыкновенных дифференциальных уравнений, предусловия и граничные уравнения в частных производных). Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн.Как только виды этих фиксированных и неопределенных функций определены, решения становятся частными. Поиски решений обыкновенных дифференциальных уравнений привели к установлению класса специальных функций — они часто встречаются в приложениях функций, не выражающихся известными фундаментальными функциями. Дифференциальные уравнения онлайн. Подробно изучались их свойства, составлялась таблица значений, определялись взаимные отношения и т. д. Вы можете исследовать многие из перечисленных номеров. Лучший ответ на задание.Как найти в первом приближении вектор, идущий в область сходимости с дифференциальными уравнениями, не находя найденного основания. Выбор очевиден для увеличения математических функций. Существует прогрессивный метод на исследовательском уровне. Настраивайте после исходного состояния задачи, разностное решение поможет найти четко выбранное значение. Может быть, это неизвестное определит сразу. Как и в предыдущем примере, при поиске решения математической задачи для линейных разностных уравнений ответ на задачу устанавливается конкретно в определенное время.Сопровождение процедур испытаний локально не регламентируется. Случится так, что для каждого ученика будет найден пример и решение дифференциальных уравнений определит минимум, приписываемый ответственному исполнителю хотя бы из двух значений. Возьмите любую сегментную функцию с общим значением и предупредите, по какой оси будет разрыв. Изучив дифференциальные уравнения онлайн, можно однозначно показать, насколько важен результат, если он обеспечивается из начальных условий. Вырезать область из определения функции невозможно, поскольку локального определения задания нет.Вырываясь из системы уравнений, ответ включает в себя переменную, вычисляемую в общем смысле, но для решения разностного уравнения онлайн вам, очевидно, удастся без этого действия определить вышеуказанное состояние. Следующий сегмент сегмента можно рассматривать как онлайн-решение дифференциального уравнения, способное продвигать результат теста в положительную сторону во время сокращения знаний учащихся. Лучшее не всегда получается из общего делового подхода. На уровне двойного масштабирования вы можете использовать все необходимые линейные дифференциальные уравнения в естественном виде, но возможность подсчета числового значения приведет к улучшению знаний.По любому приему в математике существуют дифференциальные уравнения, которые представлены в разных по своей сути выражениях, например, однородными или комплексными. После выполнения общего анализа функциональных функций становится ясно, что дифференциальное решение как можно большего числа возможностей является явной ошибкой в ​​значениях. Истина этого заключается в пространстве над линиями разреза. Где-то в определении сложной функции, в какой-то момент ее определения линейные разностные уравнения смогут дать аналитический ответ.Это вообще как существо. При замене переменной ничего не изменится. Однако надо смотреть на особый интерес к ответам. Изменения в сущности калькулятора в результате заключаются в том, что решение дифференциальных уравнений пропорционально глобальному значению размечается в пределах искомого решения. В некоторых случаях огромное предупреждение об ошибке неизбежно. Дифференциальные уравнения онлайн реализуют общий вид задачи, но в итоге нужно как можно быстрее обеспечить положительные стороны векторного произведения.Редких случаев иллюзий теории чисел в математике не бывает. Мне обязательно нужен чек. Конечно, лучше обеспечить это право профессионалам своего дела и решение дифференциальных уравнений онлайн поможет им, ведь их опыт колоссален и положителен. Разница в поверхностях чисел и площадей такова, что не решение уравнений онлайн-разнообразия позволит увидеть, а набор непересекающихся объектов таков, что линия параллельна оси. В результате вы можете получить в два раза больше стоимости.Неявно, наше представление о формальной корректности записей обеспечивает линейно-разностные уравнения как в области просмотра, так и для заведомого завышения качества результата. Несколько раз получается дискуссия на интересующую всех студентов тему. В ходе рассмотрения полного курса лекций мы подчеркиваем особое внимание к дифференциальным уравнениям и областям изучения науки, если это не противоречит истине. В начале пути можно избежать многих шагов. Если дифференциальное решение является еще принципиально новым для учащихся, то старое вовсе не забывается, а продвигается в будущее с высокой скоростью развития.Изначально условия дивергентной математической задачи, но это уточняется в соответствующем пункте. После уточнения конкретного определения не исключаются возможности пропорционально зависимого результата в разных плоскостях векторного движения. Так же исправлен такой простой случай, как описаны линейные разностные уравнения на калькуляторе, в целом так будет быстрее и расчеты не приведут к неправильному мнению. Лишь пять случаев, названных теорией, могут изменить лицо происходящего.Вычисление значения вручную с помощью чисел поможет нашему решению дифференциальных уравнений уже на первых этапах декомпозиции функционального пространства. В нужных местах необходимо сложить точки соприкосновения с четырьмя линиями в общей величине. Но если вам придется спросить, это будет легко приравнять. Исходных данных достаточно для построения смежных уравнений Катеха, а онлайн-дифференциальные уравнения выглядят одинаково в левом ребре, а поверхность представляет собой одностороннее направление к векторному ротору. Выше верхнего предела находятся числовые значения, превышающие обозначенное состояние.Рассмотрим математическую формулу и онлайн-решение разностного уравнения из-за трех неизвестных в общем значении возможной пропорции. Признан метод локального расчета. Система координат прямоугольная в относительном движении самолета. Общее решение Дифференциальных Уравнений Онлайн позволяет однозначно сделать вывод в пользу расчетного поворота, задав матрицу на всей прямой, которая находится над графиком, заданным в явном виде. Решение блокируется, когда вектор движения прикладывается к точке контакта с тремя полушариями.Цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг стороны, и линейные разностные уравнения смогут показать направление движения точки по заданным выражениям закона движения. Входные данные точны, а математическая задача взаимозаменяема одним простым состоянием. Однако в силу обстоятельств, связанных со сложностью выставленного подсчета, дифференциальные уравнения упрощают процесс вычисления числового пространства на уровне трехмерного пространства. Обратное легко доказать, но этого можно избежать, как в примере выше.В высшей математике предусмотрены следующие моменты: при переводе задачи в упрощенную форму она должна быть максимально распределена. Он держал линии, наложенные на себя. Дифференциальное решение по-прежнему возобновляет преимущество этого метода на кривой линии. Если предварительное распознавание не требуется, математическая формула будет новым значением выражения. Цель – оптимальный подход к решению поставленной профессором задачи. Не следует полагать, что упрощенная форма линейных разностных уравнений превзойдет ожидаемый результат.Три вектора будут размещены на конечной поверхности поверхности. ортогональный. Рассчитать работу. Добавляем еще символы и все функции переменной, полученные из полученного выражения. Есть пропорция. Несколько действий, предшествующих окончанию расчета, однозначного ответа на решение дифференциальных уравнений допустят не сразу, а только по истечении времени на ординате. Слева от точки трещины, заданной в неявном виде из функции, проводим ось, ортогональную лучшему возрастанию векторных и разностных уравнений онлайн, кладя наряду с наименьшим граничным значением нижнюю поверхность математического объекта.Чрезмерный аргумент для подключения функции в области перелома. Справа от расположения прямой решить дифференциальное уравнение онлайн нам поможет формула приведения к общему знаменателю. Единственно правильный подход будет заключаться в том, чтобы высветить нерешенные проблемы из теории на практике, он точно есть. Линии в направлении координат определенных точек никогда не замыкали крайние положения квадрата, но решение Дифференциальных Уравнений Онлайн поможет в изучении математики и школьникам, и нам, и только новичкам в этой области.Речь идет о возможности замены аргумента значения во всех значащих под строками одного поля. В основном, как и ожидалось, наши линейные разностные уравнения представляют собой нечто отдельное в едином понятии в этом смысле. В помощь студентам один из лучших калькуляторов среди подобных сервисов. Пройдите все курсы и выберите лучший, который подходит именно вам.

Решение разностных уравнений. С нашим онлайн-сервисом вам доступно решение дифференциальных уравнений любого типа и сложности: неоднородных, однородных, нелинейных, линейных, первого, второго порядка, с разделяющими или неразделяемыми переменными и т.д.Вы получаете решение дифференциальных уравнений в аналитической форме с подробным описанием. Многие интересуются: зачем нужно решать дифференциальные уравнения онлайн? Этот тип уравнений очень распространен в математике и физике, где без вычисления разностного уравнения решить многие задачи будет невозможно. Дифференциальные уравнения распространены в экономике, медицине, биологии, химии и других науках. Решение такого уравнения онлайн значительно облегчает задачи, позволяет лучше усвоить материал и проверить себя.Преимущества решения дифференциальных уравнений онлайн. Современный сайт математического сервиса позволяет в режиме онлайн решать дифференциальные уравнения любой сложности. Как известно, видов дифференциальных уравнений существует большое количество, и для каждого из них существуют способы их решения. На нашем сайте вы можете найти решение дифференциальных уравнений любого порядка и типа онлайн. Для решения предлагаем вам заполнить исходные данные и нажать кнопку «Решение».Ошибки в работе сервиса исключены, поэтому вы можете быть на 100% уверены, что получили правильный ответ. Решайте дифференциальные уравнения вместе с нашим сервисом. Решите разностные уравнения онлайн. По умолчанию в таком уравнении функция Y является функцией переменной X. Но вы можете задать свое обозначение переменной. Например, если вы укажете Y (T) в разностном уравнении, наш сервис автоматически определит, что Y является функцией переменной T. Порядок всего разностного уравнения будет зависеть от максимального порядка производной функции, присутствующей в уравнении .Решить такое уравнение - значит найти искомую функцию. Наш сервис поможет вам решить дифференциальные уравнения. Вам не потребуется много усилий, чтобы решить уравнение. Необходимо ввести левую и правую части уравнения в необходимые поля и нажать кнопку «Решение». При вводе производной функции ее необходимо указывать через апостроф. Учитывая секунды, вы получите готовое подробное решение разностного уравнения. Наш сервис абсолютно бесплатный. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.Если в разностном уравнении в левой части стоит выражение, зависящее от Y, а в правой части выражение, зависящее от X, то дифференциальные уравнения называются разделяющими переменными. В левой части можно получить из Y, решением разнородных уравнений этого вида будет функционал Y, выраженный целым числом в правой части уравнения. Если функция функции Y является левым дифференциалом, обе части уравнения интегрируются. Когда переменные в разностном уравнении не делятся, их необходимо разделить, чтобы получить разностное уравнение с отдельными переменными.Линейное разностное уравнение. Линейным называется разностное уравнение, у которого есть функция и все ее производные находятся в первой степени. Общий вид уравнения: Y'+A1(X)Y=F(X). F (x) и A1 (x) — непрерывные функции X. Решение дифференциальных уравнений этого типа сводится к интегрированию двух дифференциальных уравнений с отдельными переменными. Порядок разностного уравнения. Дифференциальное уравнение может быть первого или второго порядка. Порядок разностного уравнения определяет порядок старшей производной, которую оно содержит.В нашем сервисе вы можете решить дифференциальные уравнения онлайн первого, второго, третьего и т.д. порядка. Решением уравнения будет любая функция от Y = F(x), подставив которую в уравнение вы получите тождество. Процесс поиска решения разностного уравнения называется интегрированием. Квест Коши. Если кроме самого дифференциального уравнения задано начальное условие y(x0) = y0, то это называется задачей Коши. Решение уравнения складывается с индексами Y0 и X0 и определением значения какой-либо постоянной константы С, затем заданного решения уравнения при этом значении С.Это решение задачи Коши. Задача Коши — еще одна задача с граничными условиями, очень распространенная в физике и механике. Также у вас есть возможность поставить задачу Коши, то есть из всех возможных решений выбрать частное, отвечающее определенным предварительным условиям.

I. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х., желаемая функция и и ее производные или отличия.

Символически разности, уравнение записывается следующим образом:

F(x,y,y") = 0,f(x,y,y")\u003d0,f(x,y,y,y,y,.,Y(n))\u003d0

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если требуемая функция зависит от одной независимой переменной.

Решение разностного уравнения Эта функция вызывается, которая рисует тождественное уравнение.

Порядок разностного уравнения называется порядком старшей входящей производной в этом уравнении

Примеры.

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

По решению этого уравнения функция y = 5 ln x. Действительно, заменив y" В уравнении получим - тождество.

То есть функция Y = 5 LN X является решением этого разностного уравнения.

2. Рассмотрим разностное уравнение второго порядка y "- 5Y" + 6Y = 0 .Функция является решением этого уравнения.

Действительно.

Подставив эти выражения в уравнение, получим: - тождество.

Это означает, что функция является решением этого разностного уравнения.

Интегрирование разнородных уравнений Процесс нахождения решений дифференциальных уравнений называется.

Общее решение разностного уравнения Называется тип-тип, который включает в себя столько независимых произвольных констант, сколько порядка уравнения.

Особое решение разностного уравнения Решение, полученное из полного решения, называется различными числовыми значениями и произвольными константами. Значения произвольных констант находятся в пределах некоторого начального значения аргумента и функции.

График частного решения разностного уравнения называется интегральной кривой .

Примеры.

1. Частное решение разностного уравнения первого порядка

xdx + ydy = 0 , Если y. = 4,90,012 х. = 3,

Решение. Получаем интегрирование обеих частей уравнения

Комментарий. Любая константа с результирующим интегрированием может быть представлена ​​в любом удобном для дальнейших преобразований виде. В этом случае, учитывая каноническую окружность, удобно представить произвольное постоянное уравнение в виде.

- Общее решение разностного уравнения.

Частное решение уравнения Удовлетворительные начальные условия г. = 4, х. = 3 происходит от полной подстановки исходных условий в общем решении: 3 2 + 4 2 = С2; С = 5,

Подставляя С = 5 в общее решение получаем х 2 + у 2 = 5 2 .

Это частное решение разностного уравнения, полученное из общего решения при определенных начальных условиях.

2. Найдите общее решение разностного уравнения

В решении этого уравнения есть любая функция видов, где С - любая константа.Действительно, подставляя в уравнения, получаем: , .

Следовательно, дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, так как при разных значениях константы с равенством оно определяет разные решения уравнения.

Например, вы можете обеспечить возможность проверки функций. являются решениями уравнения.

Задача, в которой требуется найти конкретное решение уравнения y" = f(x, y) удовлетворительное основное состояние y(x 0) = y 0 , называется задачей Коши.

Решение уравнения y" = f(x, y) Удовлетворяющее начальному состоянию y(x 0) = y 0 называется решением задачи Коши.

Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно этим определениям, решить задачу Коши y "\u003d f(x, y) , если рассмотреть y(x 0) = y 0 , значит найти интегральную кривую уравнения y" = f(x, y) , что проходит указанную точку M 0 (x 0 , y 0.).

II. Дифференциальные уравнения первого порядка

2.1. Основные концепции

Дифференциальное уравнение первого порядка называется видовым уравнением F(x,y,y") = 0.

Разностное уравнение первого порядка включает первую производную и не включает производную высшего порядка.

Уравнение y"\u003d f(x, y) Это называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Общим решением разностного уравнения первого порядка называется функция вида, содержащая одну произвольную постоянную.

Пример. Рассмотрим разностное уравнение первого порядка.

Решение этого уравнения является функцией.

Действительно, подставляя это уравнение по смыслу, получаем

то есть 3х=3х.

Следовательно, функция является общим решением уравнения для каждой константы C.

Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(1) = 1 Перекрывая начальные условия x = 1, y = 1 В общем решении уравнения получаем из места С = 0. .

Таким образом, из общей подстановки в это уравнение дается частное решение С = 0. - частное решение.

2.2. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющими переменными называют уравнение вида: у" = f(x)g(y) или по разностям, где f(x) и g(y) - Специфические функции .

Для тех у. , для которых уравнение у"\u003d f(x)g(y) эквивалентно уравнению, В котором переменная у. присутствует только в левой части, а переменная Х только в правой части." в уравнении у" = f(x)g(y Разделим переменные."

Показать уравнение, называемое уравнением с отдельными переменными.

Интегрируя обе части уравнения по х , получаем G(y) = f(x) + c - Общее решение уравнения, где G(y) и F(x) - некоторые примитивные функции и ф(х), ДО. произвольная константа.

Алгоритм решения разностного уравнения первого порядка с разделяющими переменными

Пример 1.

Решить уравнение у"\u003d ху

Решение. Функция производная от y " Заменить

давайте разделим переменные

интегрируем обе части равенства:

Пример 2.

2YY"\u003d 1- 3x 2 , Если y 0 = 3 for x 0 \u003d 1

Это уравнение с отдельными переменными.Представьте это с различиями. Для этого перепишем это уравнение в виде Отсюда

Интегрируя обе части последнего равенства, находим

Переопределение начальных значений х 0 = 1, у 0 = 3 найти Z 9 = 1-1 + ДО. . С = 9.

Таким образом, желаемый частный интеграл будет или

Пример 3.

Составьте уравнение кривой, проходящей через точку М (2;-3) и касательной с угловым коэффициентом

Решение.По состоянию на

Это уравнение с разделяющими переменными. Совместное использование переменных, получить:

Интегрируя обе части уравнения, получаем:

Используя начальные условия х = 2, и у = - 3 Найти ДО. :

Таким образом, искомое уравнение равно

2.3. Линейные разностные уравнения первого порядка

Линейное разностное уравнение первого порядка называется уравнением вида y "\u003d f(x)y + g(x)

, где f(x) и g(x) — Некоторые специфические функции.

Если g(x) = 0 линейное разностное уравнение называется однородным и имеет вид: y "\ u003d f(x) y

Если уравнение y" = f(x) y + g(x) называется неоднородным.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y "\u003d f(x) y определяется по формуле: где Z - произвольная постоянная.

В частности, если С = 0, , то решение у = 0. Если линейное однородное уравнение имеет вид y"\u003d ky Где k. - Некоторые постоянные, то его общее решение имеет вид:

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y "\u003d f(x) y + g(x) определенная формула,

тэ. Кроме того, сумма полного решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения этого уравнения.

Для линейного неравномерного вида уравнения y"\u003d kx+b ,

, где к. и б. - Некоторые номера и частные решения будут постоянными. Поэтому общее решение имеет вид.

Пример . Решите уравнение у" + 2У +3 = 0

Решение. Представим себе уравнение вида у "\ -2у - 3 Где к = -2, b = -3 Общее решение дает формула.

Следовательно, где C — произвольная константа.

2.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка Бернулли

Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y "\u003d f(x)y + g(x) Сводится к решению двух дифференциальных уравнений с отдельными переменными заменой y = UV. где u. i v. - Неизвестные функции из x . Этот метод решения называется методом Бернулли

Алгоритм решения линейного разностного уравнения первого порядка

у"\u003d f(x)y + g(x)

1.Введите подстановку y = UV. .

2. Выделим это равенство y"\u003d u"v+uv"

3. Зам. y. и y" В этом уравнении: u"V+UV"\u003d f(x)UV+g(x) или u"V+UV"+F(x)UV\ u003d г (х) .

4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы u Вынуть фигурные скобки:

5. Из кантилевера приравнять нулю найти функцию

Это уравнение с разделяющими переменными:

Разделим переменные и получим:

З..

6. Заменить значение на в уравнении (из п.4):

и найти функцию уравнения разделяющей переменной:

7. Запишите общее решение в виде:. .

Пример 1.

Найти частное решение уравнения у "\ -2у +3 = 0 Если у = 1. при х = 0.

Решение. Я решу ее, подставив y = UV, . у"\u003d у"в+ув"

Замените на и на В этом уравнении мы получим

Упорядочив второй и третий члены левой части уравнения, суммируем фабрику u. для обвязки

Выражение в скобках равно нулю и, решив полученное уравнение, находим функцию v = v(x)

Получено уравнение с отдельными переменными. Интегрируем обе части этого уравнения: Найдите функцию v.:

Подставляем значение на Получаем уравнение:

Это уравнение с отдельными переменными. Интегрируем обе части уравнения: Находим функцию u = u(x, c) Находим общее решение: Находим частное решение, удовлетворяющее предусловиям y = 1, при x = 0,:

III. Дифференциальные уравнения высших порядков

3.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение с производными не выше второго порядка.В общем случае разностное уравнение второго порядка записывается в виде: F(x, y, y", y") = 0

Общим решением разностного уравнения второго порядка называется функция вида, в которой две произвольные константы С 1. и С2. .

Частным решением разностного уравнения второго порядка называется решение, полученное из общего при некоторых произвольных постоянных значениях С 1. и С2. .

3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянных коэффициентов.

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами Вызывается уравнением вида y "+py" + qy = 0 где п. и п. - постоянные величины.

Алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Запишите дифференциальное уравнение в виде: y"+py"+qy = 0 .

2. Составьте его характеристическое уравнение, указав y " на r2. , у " через р. , у. в 1: р2 + ПР + Q = 0

6.1. Основные понятия и определения

При решении различных задач по математике и физике, биологии и медицине нередко удается сразу установить функциональную зависимость в формуле, связывающую переменные, описывающие процесс в рамках исследования. Также необходимо использовать уравнения, содержащие, кроме независимой переменной, и неизвестную функцию, и ее производные.

Определение. Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные разных порядков дифференциал.

Неизвестная функция обычно определяет у(х) или просто у, и ее производные - у ", у" и т.д.

Возможны и другие обозначения, например: если у. \ и003д х(т) х"(т), х""(т) - его производные и т. - Независимая переменная.

Определение. Если функция зависит от одной переменной, дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Общая форма обыкновенное дифференциальное уравнение:

или

Функции FA. и фА. может не иметь аргументов, но для дифференцирования уравнений наличие производной.

Определение. Порядок разностного уравнения называется порядком содержащейся в нем старшей производной.

Например, x 2 y " - y. = 0, у" + sin х. = 0 - уравнения первого порядка i у" + 2 у" + 5 у. = х. - уравнение второго порядка.

5 9 При решении дифференциальных уравнений используется операция интегрирования, связанная с появлением какой-либо константы Если действие интегрирования используется н. один раз, конечно, решение будет включать н. произвольную константу

6.2 Первый- дифференциальные уравнения порядка

Общая форма разностное уравнение первого порядка , определяемое выражением

Уравнение не может явно содержать x. и у, но обязательно содержит. "

Если уравнение можно записать как

, оно получается с помощью разностного уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.

Определение. Общее решение разностного уравнения первого порядка (6.3) (или (6.4)) представляет собой множество решений. где Z - произвольная константа.

График для решения разностного уравнения называется интегральной кривой .

Присвоив любой константе Z различные значения, можно получить частные решения.На площади хой. Общее решение представляет собой семейство интегрированных кривых, соответствующих любому частному решению.

Если задать точку A (x 0, y 0), , через которую должна проходить интегральная кривая, то, как правило, из разных функций можно выделить одно - конкретное решение.

Определение. Частное решение дифференциальное уравнение есть решение, не содержащее произвольных констант.

Если это общее решение, то из статуса

можно найти постоянно Z. Распределить до исходного состояния.

Задача нахождения частного решения разностного уравнения (6.3) или (6.4), удовлетворяющего начальному состоянию при, называется задачей Коши. Всегда ли у этой задачи есть решение? Ответ таков.

Теорема Коши. (Теорема о существовании и единственности решений). Пусть в разностном уравнении у " = f (x, y) функция f (x, y) и ее

частная производная определена и непрерывна в некоторой

области RE, содержащей точку Тогда примерно РЭ. существует

единственное решение уравнения, удовлетворяющее начальному состоянию для

Теорема Коши утверждает, что при определенных условиях существует единственная интегральная кривая у. = f(x), проходящая через точку Точки, где теоретическая условия не выполняются

Коши, называется спец. В этих точках допускается разрыв fA. (х, у) или.

Через особую точку, или несколько интегрированных кривых, или каждую.

Определение. Если решение (6.3), (6.4) находится в виде fA. (х, у, ДО) = 0, не допускается над Y, это называется общее интегральное разностное уравнение.

Теорема Коши гарантирует только существование решения. Поскольку единого метода нахождения решения не существует, мы будем рассматривать только некоторые типы квадратурных дифференциальных уравнений первого порядка.

Определение. Это называется разностным уравнением , интегрируемым в квадратах., если его поиск сводится к интеграции функций.

6.2.1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющими переменными

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением Разделить переменные

Правая часть уравнения (6.5) представляет собой произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной.

Например, уравнение — это уравнение, которое разделяет

переменных MISI.
уравнение

не может быть представлено как (6.5).

Учитывая это, перепишем (6.5) в виде

Из этого уравнения получим дифференциальное уравнение с отдельными переменными, в котором есть функции с разностями, зависящими от соответствующей переменной: \ U003d. C2 - C 1 - Произвольная константа. Выражение (6.6) является общей интегральной частью уравнения (6.5).

Предоставив обе части уравнения (6.5), мы можем потерять те решения, где Действительно, если для

то очевидно решение уравнения (6.5).

Пример 1. Найти формализацию решения уравнения

состояние: болезнь: г. \ u003d 6 О. х. = 2 (г. (2) = 6).

Решение. Замените на " onde.. Умножьте обе части

dx, потому что dx нельзя оставить при дальнейшей интеграции. в знаменателе:

а затем разделив обе части, мы получим уравнение

, которое можно проинтегрировать. Интеграция:

Тогда; Потенцирование, получаем у = с.(х + 1) -

решение.

По исходным данным определяем произвольную константу, заменяя ее в общем решении

Получаем окончательно. г. = 2 (х + 1) - частное решение. Рассмотрим еще примеры решения уравнений с разделяющими переменными.

Пример 2. Найти решение уравнения

Решение. Учитывая это, получить.

Интегрируя обе части уравнения, мы получим

из

Пример 3. Найдите решение уравнения Решение. Разделим обе части уравнения на те факторы, которые зависят от переменной, которая не вписывается в переменную под знаком дифференциала, т.е. и проинтегрируем. Тогда получим

и наконец

Пример 4. Найдите решение уравнения

Решение. Умение преследовать. Разделение

переменных LIM. Затем

Интеграция, Получить.

Комментарий. В примерах 1 и 2 искомая функция у. выражена явно (общее решение). В примерах 3 и 4 - по умолчанию (общий интеграл). Форма решения в дальнейшем не будет определена.

Пример 5. Найти решение уравнения Решение.

Пример 6. Найдите решение уравнения, удовлетворяющее

условию: болезнь y(e) = 1.

Решение. Запишем уравнение вида

Умножая обе части уравнения dx. и далее получим

Интегрируя обе части уравнения (интеграл справа взят частично), получаем

Но по состоянию г. = 1, х. = мИ . . Затем

Заменяем найденные значения С общим решением:

Полученное выражение называется частным решением разностного уравнения.

6.2.2. Единообразные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным , если его можно представить в виде

Приведите алгоритм решения однородного уравнения.

1. Easy y. вводим новые функции и поэтому

2. В условиях эксплуатации u. уравнение (6.7)

т.е. Обмен сводит однородное уравнение к уравнению с разделяющими переменными.

3. Уравнение (6.8), мы нашли сначала U, затем y.\u003d УБ.

Пример 1. Решить уравнение Решение. Пишем уравнение в виде

Производим подстановку:
Затем

Заменяем

Умножаем DX: Делим на х и затем

Интегрируем обе части уравнения по соответствующим переменных, у нас будет

4 или возвращаясь к старым переменным, мы окончательно получим

Пример 2. Решить уравнение Решение. Оставить потом

Разделим обе части уравнения x 2: Раскроем скобки и перегруппируем условия:

Обращаясь к старым переменным, приходим к окончательному результату:

Пример 3. Находим решение уравнения с учетом

Решение. Выполнение стандартного обмена get

или

или

Это означает, что конкретное решение имеет вид Пример 4. Найдите решение уравнения

Решение.

Пример 5. Найти решение уравнения Решение.

Независимая работа

Найти решение дифференциального уравнения с разделяющими переменными (1-9).

Найти решение однородного гетерогенного уравнения (9-18).

6.2.3. Некоторые приложения дифференциальных уравнений первого порядка

Задача о радиоактивном распаде

Скорость распада RA (радия) в любой момент времени пропорциональна его денежному весу.Найдите закон радиоактивного распада РА, если известно, что начальным моментом был и период полураспада РА, он равен 1590 лет.

Решение. Пусть теперь Ra будет х = х (t) г. Тогда скорость распределения Ra равна

При условии задачи

где к.

переменные уравнения и интегрирование

с

Подлежит определению DO. мы используем начальное состояние: когда.

Тогда и то есть

Коэффициент пропорциональности к. определить из дополнительного состояния:

Иметь

Отсюда и искомая формула

Проблема с размножением бактерий

Скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству бактерий . В начальный момент было 100 бактерий. За 3 часа их количество удвоилось. Найдите зависимость численности бактерий от времени. Во сколько раз увеличилось количество бактерий за 9 часов?

Решение. Оставить х. - количество бактерий в это время т. Потом по штату

где к. - коэффициент пропорциональности.

Следовательно, состояние Z известно. То есть

Из дополнительного статуса. Тогда

Функция:

Итак, для т. = 9 х = 800, т. е. за 9 часов количество бактерий увеличилось в 8 раз.

Задача увеличения фермента

В культуре пивных дрожжей скорость существующего фермента пропорциональна его начальному числу x. Исходное количество фермента zA. удвоилось за час. Найти зависимость

х (т).

Решение. Разница в уравнении процесса составляет

, следовательно,

Ale. Это ДО. = зА. , а затем

Также известен

Следовательно,

6.3. Дифференциальные уравнения второго порядка

6.3.1. Основные понятия

Определение. Разности уравнения второго порядка называют отношением, включающим независимую переменную, искомую функцию и ее первую и вторую производные.

В особых случаях это может быть x, w. или y ". Однако уравнение второго порядка обязательно должно содержать U". В общем случае разностное уравнение второго порядка записывается в виде:

или, если возможно, в виде, решенном относительно второй производной:

Как и уравнение первого порядка, уравнение второго порядка уравнение может существовать в общем и частном решениях. Общее решение имеет вид:

Поиск частного решения

при предварительных условиях - задал

номера) называется Задача Коши. Геометрически это означает, что необходимо найти интегральную кривую. w. = y(x), проходят через указанную точку и имеют в этой точке касание

в направлении положительной оси OX. комплект. мне. (рис. 6.1). Задача Коши имеет одно решение, если правая часть уравнения (6.10)

ровна и имеет непрерывные частные производные y, u" в некоторой окрестности начальной точки

Найти постоянную Входит в данного решения, необходимо решить систему

Рис.6.1. Интегрированная кривая

Уравнение обыкновенной разности Называется уравнение, в котором объединены независимая переменная, неизвестная функция этой переменной и ее производные (или дифференциалы) разных порядков.

Уравнение порядка разности Соблюдайте порядок старшей производной.

Кроме обычных разностных уравнений с частными производными также исследуются. Это уравнения, связывающие неизвестные переменные, неизвестную функцию этих переменных и ее частные производные по этой же переменной.Но мы будем рассматривать только обыкновенных дифференциальных уравнений Поэтому будет для краткости слово "рядовой" опустить.

Примеры дифференциальных уравнений:

(1);

(3);

(4);

Уравнение (1) — четвертый порядок, Уравнение (2) — третий порядок, Уравнение (3) и (4) — второй порядок, Уравнение (5) — первый порядок.

Разностное уравнение п. - Порядок не обязательно должен функционировать четко, все его производные от первого до п. н. - Порядок и независимая переменная. Он не может содержать явных производных некоторых порядков, функций, независимых переменных.

Например, в уравнении (1) явно отсутствуют производные третьего и второго порядка, а также функции; В уравнении (2) - второй порядок и функциональная производная; в уравнении (4) - независимая переменная; В уравнении (5) - функции. Только в уравнении (3) они явно содержат все производные, функцию и независимую переменную.

Решение разностного уравнения называется любая функция y = f(x) С поворотом, решающим тождество к уравнению.

Процесс нахождения решения разностного уравнения называется интегрированием .

Пример 1. Найти решение разностного уравнения.

Решение. Запишем это уравнение в виде. Решение состоит в том, чтобы найти функцию по ее производной. Начальная функция известна из полного исчисления, есть первообраз для, т.е.

Итак, это решение этого разностного уравнения . Изменения в ИТ. ТО. Мы получим различные решения. Мы узнали, что существует бесконечное множество решений разностного уравнения первого порядка.

Общее решение разностного уравнения п. - Порядком называется его решение, выраженное явно по отношению к неизвестной функции и содержащее п. Независимая произвольная постоянная, т. е.

Решение разностного уравнения в примере 1 обычное.

Специальное решение разностного уравнения Это решение вызывается там, где заданные числовые значения прикрепляются к какой-либо постоянной константе.

Пример 2. Найдите общее решение разностного уравнения и частное решение.

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения столько раз, сколько раз равно порядку разностного уравнения.

,

.

В итоге получили общее решение -

— дифференциальное уравнение третьего порядка.

Теперь найдите частное решение при заданных условиях. Для этого подставляем вместо произвольных коэффициентов их значения и получаем

.

Если в форме в дополнение к дифференциальному уравнению указано начальное условие, такая работа называется Задача Коши. . В общем случае решение уравнения заменяет значение и находит значение любой константы DO. , за которым следует частное решение уравнения с распознанным значением DO. . Это решение задачи Коши.

Пример 3. Решите задачу Коши для разностного уравнения примера 1.

Решение. Заменяем значение решения из начального условия у. = 3, х. = 1. Получаем

Запишем решение задачи Коши для этого дифференциального уравнения первого порядка:

При решении дифференциальных уравнений требуются даже самые простые, хорошие, хорошие навыки интегрирования и производных, включая исчерпывающие функции. Это можно увидеть на примере ниже.

Пример 4. Найдите общее решение разностного уравнения.

Решение. Уравнение записывается в таком виде, чтобы обе части можно было сразу интегрировать.

.

Применить метод интегрирования переменного обмена (подстановки). Позже.

Требуется взять dx. А теперь - внимание - делаем по правилам сложного дифференцирования, потому что х. И есть сложная функция ("Яблоко" - извлечение квадратного корня или что то же самое построение "одна секунда" и " земля" является самым большим выражением под корнем):

Найти интеграл:

Возвращаясь к переменной x. Получаем:

.

Это общее решение дифференциального уравнения первой степени.

Для решения различных уравнений потребуются не только навыки из предыдущих эпизодов высшей математики, но и навыки начальной или школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка это может быть не независимая переменная, а переменная х . Они помогут решить эту задачу, не забудутся (Впрочем, кем-то) со школьными знаниями пропорций.Это следующий пример.

.

Найдите конкретные решения, соответствующие вашим начальным условиям. Дифференциальные уравнения

приложение

Онлайн-решение дифференциального уравнения онлайн для студентов, чтобы закрепить учебный материал. И отрабатывайте свои практические навыки. Дифференциальные уравнения онлайн. Difuras онлайн, онлайн-решение по математике. Пошаговое решение математических задач онлайн. Порядок или степень дифференциального уравнения – это высший порядок его производных.Дифференциальные уравнения онлайн. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Задача интегрирования дифференциального уравнения считается решенной, если определение неизвестной функции можно квадратурировать независимо от того, выражается полученный интеграл в конечном виде известных функций или нет. Пошаговое онлайн решение дифференциальных уравнений. Все дифференциальные уравнения можно разбить на обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), которые содержат только функции (и их производные) одного аргумента, и уравнения в частных производных (УЧП), в которых входные функции зависят от многих переменных.Дифференциальные уравнения онлайн. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы. Пошаговое онлайн решение дифференциальных уравнений. В зависимости от сочетания производных, функций и независимых переменных дифференциальные уравнения делятся на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные и неоднородные. Ввиду важности приложений квазилинейные уравнения в частных производных были выделены в отдельный класс.Решения дифференциальных уравнений можно разделить на общие и частные решения. Дифференциальные уравнения онлайн. К общим решениям относятся неопределенные константы, а для уравнений в частных производных — любые функции независимых переменных, уточняемые из дополнительных условий интегрирования (начальные условия для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальные и граничные условия для уравнений в частных производных). Пошаговое онлайн решение дифференциальных уравнений. После определения вида этих фиксированных и неопределенных функций решения становятся конкретными.Поиски решений обыкновенных дифференциальных уравнений привели к созданию класса специальных функций — часто встречающихся в приложениях функций, не выражающихся в виде известных элементарных функций. Дифференциальные уравнения онлайн. Подробно изучены их свойства, составлены таблицы значений, определены связи и т.д. Коллекция пронумерованных чисел может быть исследована. Лучший ответ на заданную проблему. Как найти в первом приближении вектор, идущий в область сходимости с дифференциальными уравнениями, не объясняя найденный верхний предел.Выбор очевиден при увеличении математических функций. Существует прогрессивный метод, выходящий за рамки исследовательского уровня. Чтобы адаптироваться к начальному состоянию задачи, решение дифференциалов поможет найти однозначное выбранное значение. Возможно, он сможет сразу определить неизвестное. Как и в предыдущем примере поиска решения математической задачи, линейные дифференциальные уравнения реагируют на конкретную задачу в течение определенного интервала времени. Содержание процедуры испытаний локально не определено.Будет так, что для каждого ученика будет пример, а решение дифференциальных уравнений будет определяться лицом, закрепленным за ответственным исполнителем, не менее чем из двух значений. Возьмем целочисленную функцию на определенном расстоянии и предупредим, по какой оси будет пространство. Изучив дифференциальные уравнения в Интернете, можно однозначно показать, насколько важен результат, если мы получаем его из начальных условий. Вырезать регион из определения функции невозможно, потому что локального определения задания нет.Будучи из системы уравнений, ответ содержит переменную, которую можно вычислить в общих чертах, но, естественно, можно будет решить дифференциальное уравнение онлайн, не делая этого для определения указанного условия. Вблизи интервала отрезка видно, как решение дифференциальных уравнений онлайн способно сместить результат теста в положительную сторону в момент, когда знания учащихся обрываются. Не всегда лучшее достигается при общепринятом подходе к делу. На уровне 2х можно с пользой посмотреть все необходимые естественные линейные дифференциальные уравнения, но возможность вычислить числовое значение приведет к увеличению знаний.Согласно любому математическому приему существуют дифференциальные уравнения, которые представляются в выражениях разного характера, например однородными или комплексными. После общего анализа исследования функции становится ясно, что решение дифференциала как набора возможностей представляет собой явную ошибку значения. Истина в нем лежит в пространстве над разорванными линиями. Где-то в области сложной функции, в какой-то момент ее определения линейные дифференциальные уравнения смогут представить ответ в аналитической форме.то есть, вообще говоря, как существо. При изменении переменной ничего не изменится. Однако смотреть на ответ нужно с особым интересом. На самом деле калькулятор в конечном итоге изменяет соотношение, то есть насколько решение дифференциальных уравнений пропорционально глобальному значению, указывается в искомом решении. В некоторых случаях предупреждение о массовой ошибке неизбежно. Дифференциальные уравнения онлайн реализуют общую идею проблемы, но в конечном итоге вам необходимо как можно скорее включить положительные аспекты скрещенного произведения.В математике ошибки в теории чисел не редкость. Вам обязательно нужно это проверить. Конечно, лучше отдать это право профессионалам своего дела и они помогут решить дифференциальное уравнение онлайн, ведь их опыт колоссален и положителен. Отличие поверхности фигур от поверхности в том, что увидеть позволит не решение дифференциальных уравнений онлайн, а множество непересекающихся объектов в том, что линия параллельна оси. В результате вы можете получить в два раза больше стоимости.Будучи неявным, наше представление о формальной записи предсказывает линейные дифференциальные уравнения как в поле зрения, так и в отношении намеренного завышения качества результата. В рецензии несколько раз публикуется дискуссия на тему, интересную для всех учащихся. По мере изучения полного курса лекций мы сосредоточим свое внимание на дифференциальных уравнениях и смежных областях науки, если это не противоречит истине. Вы можете пропустить многие этапы в начале своего пути.Если дифференцированное решение является еще принципиально новым для учащихся, то старое вовсе не забывается, а стремительно развивается в будущее. Изначально условия задачи по математике другие, но это указано в абзаце справа. По истечении времени, определенного определением, не исключен пропорционально зависимый результат на разных плоскостях векторного движения. Такой простой случай исправляется так же, как линейные дифференциальные уравнения описываются в общем виде на калькуляторе, так будет быстрее и перекладывание расчета не приведет к неправильному мнению.Всего пять случаев, названных по теории, могут раздвинуть границы происходящего. Наше решение дифференциальных уравнений поможет вручную вычислить числовое значение уже на первых этапах распределения функционального пространства. Точка контакта четырех линий, как правило, должна быть показана там, где это уместно. Но если вам нужно форсировать задачу, будет легко выровнять сложность. Предварительных данных достаточно, чтобы спроектировать смежную ветвь, и онлайн-дифференциальные уравнения кажутся выровненными по левому краю с односторонней поверхностью, обращенной к векторному ротору.Выше верхнего предела возможны числовые значения за пределами указанного условия. Можно учесть математическую формулу и решить дифференциальное уравнение онлайн из-за трех неизвестных в общем значении пропорции. Метод локального расчета считается правильным. Система координат прямоугольная в относительном плоском движении. Общее онлайн-решение дифференциальных уравнений позволяет сделать однозначный вывод в пользу вычислительного протаскивания матричных определений по всей прямой над графиком явно заданной функции.Решение видно, если применить вектор движения к точке соприкосновения трех полушарий. Цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг стороны, а линейные дифференциальные уравнения могут показать направление движения точки по заданным выражениям закона ее движения. Исходные данные верны, а математическая задача взаимозаменяема при одном простом условии. Однако в силу обстоятельств, связанных со сложностью подзадачи допущения, дифференциальные уравнения упрощают процесс вычисления числовых пространств на уровне трехмерного пространства.Легко доказать обратное, но этого можно избежать, как в примере выше. В высшей математике даются следующие пункты: при приведении задачи к упрощенной форме ей должны быть приложены наибольшие усилия со стороны учащихся. Перекрывающиеся линии попадают в смещение. Решение Difference Pro по-прежнему возобновляет преимущество этого метода на криволинейной линии. Если вы изначально не понимаете, что вам нужно, математическая формула придаст этому выражению новое значение.Цель – оптимальный подход к решению поставленных профессором задач. Не следует полагать, что линейные дифференциальные уравнения в упрощенном виде превзойдут ожидаемый результат. Мы размещаем три вектора, чтобы завершить комплексную поверхность. перпендикулярны друг другу. Рассчитаем произведение. Добавим еще символов и перечислим все переменные функции в полученном выражении. Есть пропорция. Несколько шагов, предшествующих окончанию расчетов, не дадут вам однозначного ответа на решение дифференциальных уравнений сразу, а только по истечении отведенного времени по оси ординат.Слева от точки разрыва, заданной неявно из функции, проводим ось, перпендикулярную наилучшему возрастающему вектору, и размещаем дифференциальные уравнения онлайн по наименьшему нижнему граничному значению математического объекта. Добавим дополнительный аргумент в область разрыва функции. Справа от точек кривой линии написанные нами формулы для приведения к общему знаменателю помогут решить дифференциальное уравнение онлайн. Единственно правильным будет тот подход, который будет проливать свет на нерешенные проблемы от теории к практике, в общем случае однозначно.Линии, направленные в направлении координат заданных точек, никогда не замыкали крайнее положение квадрата, однако решение дифференциальных уравнений онлайн поможет и школьникам, и нам, и только новичкам в этой области в изучении математики. Речь идет о возможности подстановки аргумента значения во всех соответствующих подразделах одного поля. На самом деле, как и следовало ожидать, наши линейные дифференциальные уравнения представляют собой нечто изолированное в одном понятии с уменьшенным значением. В помощь учащимся одним из лучших подобных сервисов является калькулятор.Пройдите все курсы и выберите лучший для себя.

6.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

При решении различных математико-физических и биолого-медицинских задач часто невозможно сразу установить функциональную зависимость в виде формулы, связывающей переменные, описывающие изучаемый процесс. Обычно используют уравнения, содержащие, помимо независимой переменной и неизвестной функции, еще и ее производные.

Определение. Уравнение, относящееся к независимой переменной, неизвестной функции и ее производным разных порядков, называется дифференциалом .

Неизвестная функция обычно называется y(x) или просто да, и ее производные y ", y" и т.д.

Возможны и другие обозначения, например: если да = x(t), то x"(t), x""(t) - ее производные, а T - независимая переменная.

Определение. Если функция зависит от одной переменной, то мы называем дифференциальное уравнение обыкновенное Общая форма Обыкновенное дифференциальное уравнение:

или

Функции F и F могут не иметь некоторых аргументов, но производная должна присутствовать, чтобы уравнения были дифференциальными.

Определение. Порядок дифференциального уравнения равен порядку входящей в него старшей производной.

Например, x 2 года " - да = 0, y" + sin x = 0 является уравнением первого порядка и y " + 2 y" + 5 да = — уравнение второго порядка.

При решении дифференциальных уравнений используется операция интегрирования, связанная с появлением какой-либо константы.Если действие интегрирования использовано n раз, то, конечно, решение будет содержать n любых констант.

6.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Общая форма Дифференциальное уравнение первого порядка определяется выражением

Уравнение не может явно содержать: x и да, но обязательно содержит y ".

Если уравнение можно записать как

, то мы получим дифференциальное уравнение первого порядка, решенное относительно производной.

Определение. Общее решение дифференциального уравнения первого порядка (6.3) (или (6.4)) представляет собой множество решений, где Z — любая константа.

График для решения дифференциального уравнения называется , интегральная кривая.

Задание произвольной константы Имея различных значений, можно получить определенные решения. На поверхности xOy общее решение представляет собой семейство интегральных кривых, соответствующих каждому конкретному решению.

Если задать точку A (x0, y0), , через которую должна проходить интегральная кривая, то обычно из набора функций можно выделить особое решение.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения является его решение, не содержащее произвольных констант.

Если это общее решение, то из условия

можно найти константу Z. Условие называется начальным состоянием.

Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения (6.3) или (6.4), удовлетворяющая начальному условию в, называется задачей Коши . Всегда ли у этой проблемы есть решение? Ответ содержится в следующем утверждении.

Теорема Коши (теорема существования и единственности решения). Пусть в дифферен- D есть

единственное решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию в

Теорема Коши гласит, что при определенных условиях существует единственная интегральная кривая да = f(x), проходящая через точку Точки где не выполняются условия теоремы

Кошки называются особенными . Прерывания в этих точках F (x, y) или.

Либо несколько интегральных кривых проходят через особую точку, либо ни одной.

Определение. Если решение (6.3), (6.4) имеет вид F (x, y, C) = 0 не допускается по y, то оно называется общим интегральным дифференциальным уравнением.

Теорема Коши гарантирует только существование решения. Поскольку единого метода нахождения решения не существует, мы будем рассматривать только некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка, интегрируемые в квадратах.

Определение. Дифференциальное уравнение называется интегрируемым в квадратурах, , если поиск его решения сводится к интегрированию функций.

6.2.1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделимыми переменными,

Правая часть уравнения (6.5) есть произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной.

Например, уравнение представляет собой уравнение с разделением

с передачей переменных
и уравнение

не может быть представлено в виде (6.5).

Если учесть, перепишем (6.5) в виде

Из этого уравнения получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными, в котором дифференциалы содержат функции, зависящие только от соответствующей переменной:

Интегрируя член после терм, имеем

где С = С 2 - С 1 любая константа.Выражение (6.6) является общим интегралом уравнения (6.5).

Разделив обе части уравнения (6.5) на, мы можем потерять эти решения, для которых: Действительно, если в

, то решение уравнения (6.5) очевидно.

Пример 1 Найдите удовлетворительное решение уравнения

состояние: болезнь: да = 6 w x = 2 (y (2) = 6).

Раствор. Давайте пока превратим в "".Умножьте обе части на

dx, так как при дальнейшем интегрировании нельзя выйти из dx в знаменателе:

и далее разделив обе части на получаем уравнение

которое можно проинтегрировать. Интегрируем:

Затем; усиливая, получаем y = C. (х + 1) - об-

решение.

На основании исходных данных определяем любую константу, подставляя их в общее решение

Наконец, получаем да = 2(х+1) — частное решение.Рассмотрим еще несколько примеров решения уравнений с разделяющимися переменными.

Пример 2 Найдите решение уравнения

Решение. Если он посчитает, мы получим.

Интегрируя обе части уравнения, мы имеем

где

Пример 3 Найдите решение уравнения Решение. Разделим обе части уравнения на те множители, которые зависят от переменной, не совпадающей с переменной под знаком дифференциала, т.е.через и интегрировать. Тогда мы получаем

и, наконец,

Пример 4 Найдите решение уравнения

Решение. Зная, что мы получаем. Section-

lim переменная. Тогда

Интегрируя, мы получаем

Комментарий. В примерах 1 и 2 искомая функция да выражена напрямую (общее решение). В примерах 3 и 4 - неявно (общий интеграл).Форма решения в дальнейшем не будет определена.

Пример 5 Найдите решение уравнения Решение.

Пример 6 Найдите решение уравнения, удовлетворяющее

условию: болезнь человек) = 1.

Раствор. Запишем уравнение в виде

Умножая обе части уравнения на dx и далее, получаем

Интегрируя обе части уравнения (правый интеграл делится на части), получаем

Но если да = 1 в х = м и .Затем

Заменяем найденные значения Z в общее решение:

Полученное выражение называют частным решением дифференциального уравнения.

6.2.2. Однородные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным , если его можно представить в виде

Приведем алгоритм решения однородного уравнения.

1.Вместо да ввести новую функцию тогда и, следовательно,

2. В терминах функции вы уравнение (6.7) принимает вид

т.е. подстановка сводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

3. Решая уравнение (6.8), сначала находим u, затем да = доп.

Пример 1 Решаем уравнение Решение. Запишем уравнение в виде

Преобразуем:
Затем

Заменим

Умножим на dx: Разделим на x и затем

переменные

Интегрируя по соответствующим частям уравнения, иметь

или возвращая

Пример 2 Решаем уравнение Решение. Пусть тогда

Разделим обе части уравнения на x2: Раскроем скобки и введем члены:

Перебирая старые переменные, приходим к окончательному результату:

Пример 3 Найдите решение уравнения при условии, что

4

Решение. Выполняя стандартный обмен, получаем

или

или

Итак, специальное решение имеет вид Пример 4 3.3

Решение уравнения

Пример 5 Найдите решение уравнения Решение.

Самостоятельная работа

Найти решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными (1-9).

Найти решение однородного дифференциального уравнения (9-18).

6.2.3. Некоторые приложения дифференциальных уравнений первого порядка

Проблема радиоактивного распада

Скорость распада Ra (радия) в любой момент времени пропорциональна его доступной массе.Найдите закон радиоактивного распада Ra, если известно, что Ra существовал в начальный момент и что Ra имеет период полураспада 1590 лет.

Раствор. Пусть теперь масса Ra равна x = x (t) г и Тогда скорость распада Ra равна

Согласно задаче

где k

и интегрируя, мы получаем

где

Для определения C мы используем начальное условие:.

Тогда и поэтому

Коэффициент пропорциональности k определяем из дополнительного условия:

Имеем

Отсюда и искомая формула

Задача о скорости размножения бактерий

Скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. В начальный момент было 100 бактерий. В течение 3 часов их число удвоилось. Найдите зависимость численности бактерий от времени. Во сколько раз увеличится количество бактерий за 9 часов?

Раствор. Разрешить х - количество бактерий на данный момент Т. Тогда по условию

где к - коэффициент пропорциональности.

Отсюда Из условия известно, что. Я имею в виду,

Из дополнительного условия. Тогда

Требуемая функция:

Значит в Т = 9 х = 800, значит за 9 часов количество бактерий увеличилось в 8 раз.

Задача увеличения количества фермента

В культуре пивных дрожжей скорость роста активного фермента пропорциональна его исходному количеству. х Начальное количество фермента и удвоилось за один час. Найдите зависимость

х (t).

Раствор. Из условия дифференциальное уравнение процесса имеет вид

, следовательно,

Ale. То есть C = a и затем

Известно также, что

Следовательно,

6.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

6.3.1. Основные понятия

Определение. Дифференциальное уравнение второго порядка представляет собой соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую и вторую производные.

В особых случаях в уравнении может отсутствовать x, в или y". Однако уравнение второго порядка обязательно должно содержать y". В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде:

или, если возможно, в форме с учетом второй производной:

Как и в случае уравнения первого порядка, для второго порядка может существовать общее и частное решение уравнение.Общее решение выглядит так:

Нахождение частного решения

при начальных условиях (данное число

) называется задачей Коши. Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую в = y(x), проходящую через заданную точку и имеющую касательную в этом месте, что составляет примерно

развилки с положительным направлением оси Ox заданный угол. мне. (рис. 6.1). Задача Коши имеет единственное решение, если правая часть уравнения (6.10), пред-

является разрывным и имеет непрерывные частные производные относительно вы" вблизи начальной точки

Рис 6.1.. интегральная кривая

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка, т.е. уравнение

и определить некоторые свойства его решений.

Свойство 1
Если это решение линейного однородного уравнения, то C , где C - любая константа, является решением того же уравнения.
Доказательства.
Подставив в левую часть рассматриваемого уравнения C , получим: ,
а потому что это решение исходного уравнения.
Следовательно,

и действительность этого свойства доказана.

Свойство 2
Сумма двух решений линейного однородного уравнения является решением одного и того же уравнения.
Доказательства.
Пусть и - решения рассматриваемого уравнения, тогда
и.
Теперь подставив + в рассматриваемое уравнение, получим:
, т.е.+ — решение исходного уравнения.
Доказанные свойства показывают, что, зная два детальных решения и однородное линейное уравнение второго порядка, можно получить решение, зависящее от любых двух констант, т.е. от такого количества констант, которое должно входить в общее решение уравнения второго порядка. Но будет ли это решение общим, т. е. можно ли, выбирая любые константы, выполнить произвольно заданные начальные условия?
При ответе на этот вопрос мы будем использовать понятие независимости линейной функции, которое можно определить следующим образом.

Две функции и называются линейно независимыми на некотором интервале, если их отношение на этом интервале непостоянно, т. е. если
.
В противном случае функции называются линейно зависимыми .
Другими словами, две функции и называются линейно зависимыми от некоторого интервала, если на всем интервале.

Примеры

1. Функции y 1 = е х и ты 2 = е - х линейно независимы при всех значениях х, потому что
.
2. Функции y 1 = е х и ты 2 = 5e x линейно зависимы, потому что
.

Теорема 1.

Если функции и линейно зависят от некоторого интервала, то определитель, называемый Определитель Вронского этих функций тождественно равен нулю в этом диапазоне.

Доказательства.

Если
,
где, то и.
Следовательно,
.
Теорема доказана.

Комментарий.
Определитель Вронского, фигурирующий в рассматриваемой теореме, обычно обозначается буквой W или символами.
Если функции и являются решениями линейного однородного уравнения второго порядка, то для них справедливы обратная и более сильная теоремы.

Теорема 2.

Если определитель Вронского, составленный для решений и однородного линейного уравнения второго порядка, исчезает хотя бы в одной точке, то эти решения линейно зависимы.

Доказательства.

Пусть определитель Вронского исчезнет в точке, т. е. = 0,
, и пусть и.
Рассмотрим линейную однородную систему

для неизвестных и.
Определитель этой системы совпадает со значением определителя Вронского в
х = , т.е.совпадает с и, следовательно, равен нулю. Следовательно, система имеет ненулевое решение и (и не равны нулю). Используя эти значения и рассмотрим функцию. Эта функция является решением того же уравнения, что и функции и . Кроме того, эта функция удовлетворяет условиям нулевого старта: , потому что и .
С другой стороны, очевидно, что решением уравнения, удовлетворяющим нулевым начальным условиям, является функция да = 0.
В силу уникальности решения имеем:. Откуда следует, что
,
из них.функции и линейно зависимы. Теорема доказана.

Последствия.

1. Если определитель Вронского в предложениях равен нулю для некоторого значения x = , это ноль для любого значения х из рассматриваемого диапазона.

2. Если решения и линейно независимы, то определитель Вронского не исчезает ни в одной точке рассматриваемого интервала.

3. Если определитель Вронского отличен от нуля хотя бы в одной точке, то решения и линейно независимы.

Теорема 3.

Если и - два линейно независимых решения однородного уравнения второго порядка, то функция, где и - любые константы, является общим решением этого уравнения.

Доказательства.

Как известно, функцией является решение рассматриваемого уравнения при любых значениях и . Теперь докажем, что независимо от начальных условий
и
можно выбирать значения любых констант и так, чтобы соответствующее решение удовлетворяло предполагаемым начальным условиям.
Подставив начальные условия в равенство, получим систему уравнений
.
Из этой системы можно определить i, так как определитель этой системы

является определителем Вронского для x = и поэтому не равен нулю (из-за линейной независимости решений и).

; .

Бетонный раствор для полученных значений и соответствует заданным начальным условиям. Таким образом, утверждение доказано.

Примеры

Пример 1

Общее решение уравнения есть решение.
Действительно,
.

Следовательно, функции sinx и cosx линейно независимы. В этом можно убедиться, рассмотрев взаимосвязь этих функций:

Пример 2

Решение у = С 1 м и x + С 2 миль - x уравнение является общим, потому что.

Пример 3

Уравнение, коэффициенты которого i
непрерывны на любом интервале, не включающем точку x = 0, допускает конкретные решения

(легко проверить подстановкой). Следовательно, его общее решение:
.

Комментарий

Мы установили, что общее решение линейного однородного уравнения второго порядка можно получить, зная любые два линейно независимых детальных решения этого уравнения.Однако общих методов нахождения таких частных решений в окончательном виде для уравнений с переменными коэффициентами не существует. Для уравнений с постоянными коэффициентами такой способ существует, и мы рассмотрим его позже.

Сегодня одним из важнейших навыков любого профессионала является умение решать дифференциальные уравнения. Решение дифференциальных уравнений - без него не применяется ни одна задача, будь то расчет какого-либо физического параметра или моделирование изменений в результате проводимой макроэкономической политики.Эти уравнения также важны для многих других наук, таких как химия, биология, медицина и т. д. Ниже мы приведем пример использования дифференциальных уравнений в экономике, но перед этим кратко обсудим основные типы уравнений.

Дифференциальные уравнения - простейшие виды

Мудрецы говорили, что законы нашей вселенной написаны математическим языком. Конечно, в алгебре есть множество примеров различных уравнений, но это в основном учебные примеры, которые на практике не применимы.По-настоящему интересная математика начинается, когда мы хотим описать процессы, происходящие в реальной жизни. Но как отразить реальный временной фактор - инфляцию, производственные или демографические показатели?

Вспомните одно важное определение из курса математики о производной функции. Производная — это скорость изменения функции, поэтому она может помочь нам отразить фактор времени в уравнении.

То есть мы создаем уравнение с функцией, описывающей интересующий индекс, и добавляем к уравнению производную этой функции.Это дифференциальное уравнение. Теперь перейдем к простейшим типам дифференциальных уравнений для манекенов.

Простейшее дифференциальное уравнение имеет вид $y'(x)=f(x)$, где $f(x)$ - некоторая функция, а $y'(x)$ - производная или скорость изменения искомой функции . Обычное интегрирование исправляет: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

Второй простейший тип называется разделимым дифференциальным уравнением. Это уравнение выглядит так: $y’(x) = f(x)\cdot g(y)$. Вы можете видеть, что зависимая переменная $y$ также является частью построенной функции.Уравнение решается очень просто - надо "разделить переменные", то есть сделать их $y'(x)/g(y) = f(x)$ или $dy/g(y) = f(x ) дх $. Осталось проинтегрировать обе части $$\int\frac(dy)(g(y)) = \int f(x)dx$$ - это решение дифференциального уравнения сепарабельного типа.

Последний простой тип представляет собой линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид $y'+p(x)y=q(x)$. Здесь $p(x)$ и $q(x)$ — некоторые функции, а $y = y(x)$ — искомая функция. Для решения такого уравнения уже применяются специальные методы (метод вариации любой константы Лагранжа, метод подстановки Бернулли).

Существуют более сложные типы уравнений - уравнения второго, третьего и вообще любого порядка, однородные и неоднородные уравнения, системы дифференциальных уравнений. Для их решения нужна предварительная подготовка и опыт решения более простых задач.

Большое значение для физики и неожиданно для финансов имеют так называемые уравнения в частных производных. Это означает, что запрашиваемая функция зависит сразу от нескольких переменных. Например, уравнение Блэка-Шоулза для финансового инжиниринга описывает стоимость опциона (типа обеспечения) в зависимости от его доходности, суммы выплаты, а также времени начала и окончания выплаты.Решить уравнение в частных производных достаточно сложно, обычно приходится пользоваться специальными программами вроде Matlab или Maple.

Пример использования дифференциального уравнения в экономике

Как и обещал, приведем простой пример решения дифференциального уравнения. Сначала поставим задачу.

Для некоторых предприятий функция предельной выручки от реализации их продукции имеет вид $MR=10-0,2q$. Здесь $MR$ — предельный доход компании, а $q$ — объем производства.Нам нужно найти общий доход.

Как видно из задачи, это пример приложения из микроэкономики. Многие компании и предприятия постоянно борются с такими расчетами в процессе своей деятельности.

Перейдем к решению. Как известно из микроэкономики, предельный доход получается из общего дохода, а доход равен нулю при нулевых продажах.

С математической точки зрения задача сводилась к решению дифференциального уравнения $R'=10-0,2q$ с условием $R(0)=0$.2 доллара. Задача решена.

Другие примеры для различных типов пультов дистанционного управления перечислены на странице:

Часто одно только упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов дискомфорт. Почему это происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала создается пробел в знаниях, что делает дальнейшее изучение дифур просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решить, с чего начать?

Однако мы постараемся показать вам, что дифурс не так сложен, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Простейшие уравнения мы знаем со школы, в которых нужно найти неизвестное х. На самом деле дифференциальные уравнения лишь немного отличаются от них - вместо переменной х нужно найти функцию у(х) , что превратит уравнение в тождество.

D дифференциальные уравнения имеют большое практическое значение. Это не абстрактная математика, не имеющая ничего общего с окружающим миром.Многие реальные природные процессы описываются с помощью дифференциальных уравнений. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, найти скорость и ускорение тела с помощью дифференциальных уравнений в задачах механики. Также ДУ широко применяются в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение ( ДУ ) представляет собой уравнение, содержащее производные от y(x), саму функцию, независимые переменные и другие параметры в различных сочетаниях.

Существует множество типов дифференциальных уравнений: обыкновенные, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения первого и более высоких порядков, уравнения в частных производных и т.д.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая превращает его в тождество. Существуют общие и специальные решения для дистанционного управления.

Общее решение дифференциального уравнения – это общее множество решений, превращающее уравнение в тождество.Частным решением дифференциального уравнения является решение, удовлетворяющее указанным во введении дополнительным условиям.

Порядок дифференциального уравнения определяется высшим порядком его производных.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения — это уравнения с одной независимой переменной.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Похоже на

Это уравнение можно решить, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Разделимые уравнения переменных

В общем случае этот тип уравнения выглядит так:

Вот пример:

Когда вы решаете это уравнение, вы должны разделить переменные в виде:

Затем осталось интегрировать две части и получить решение.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения принимают вид:

Здесь p (x) и q (x) — некоторые функции независимой переменной, а y = y (x) — искомая функция.Вот пример такого уравнения:

При решении такого уравнения чаще всего используют метод вариации какой-либо константы или представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений требуется некоторая подготовка, и взять их "на скорую руку" будет достаточно сложно.

Пример решения DE с

Вот мы и рассмотрели самые простые виды пультов. Теперь давайте посмотрим на один из них.Пусть это уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все "игры", а в другой "ху":

Теперь осталось объединить обе части:

Интегрируем и получаем общее решение этого уравнения:

Конечно, решение дифференциальных уравнений — это своего рода искусство.Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования необходимо с ним произвести, чтобы привести его к тому или иному виду, не говоря уже об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы добиться успеха в борьбе с ДЭ, требуется практика (как и во всем). А если в данный момент у вас нет времени разбираться, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши разрослась как кость в горле или вы не знаете, то обращайтесь к нашим авторам.В короткие сроки мы предоставим вам готовое и детальное решение, в деталях которого вы сможете разобраться в удобное для вас время. А пока предлагаем вам посмотреть видео "Как решать дифференциальные уравнения":

Включить дифференциал. Дифференциал. Как выглядит служба

В случае автомобиля дифференциал отвечает за распределение крутящего момента между ведущими колесами, а также позволяет колесам вращаться с разной угловой скоростью при определенных условиях.

Читать

Где находится дифференциал в трансмиссии автомобиля, типы дифференциала

Как известно, автомобили бывают переднеприводные, заднеприводные и полноприводные.Относительно расположения дифференциала:

• если привод осуществляется на передние колеса, то дифференциал сам по себе;
• на заднеприводном автомобиле дифференциал установлен в картере заднего моста;
• на полноприводных автомобилях для привода ведущих колес дифференциал расположен в картере переднего и заднего мостов, а для привода ведущих мостов механизм установлен в раздаточной коробке (раздаточной коробке).

Дифференциалы также межколесные и межосевые. Если для привода ведущих колес используется дифференциал, то это межосевой дифференциал. Межосевой дифференциал расположен между ведущими мостами по отношению к полноприводным автомобилям.

По устройству и конструктивным особенностям дифференциал основан на планетарной передаче. С учетом типа используемой в редукторе передачи дифференциал (редуктор) может быть: коническим, цилиндрическим, червячным.Теперь рассмотрим устройство и принцип работы дифференциала более подробно.

Дифференциальное устройство и принцип действия

Начнем с первого типа. Конусный дифференциал часто выполняет функцию межколесного дифференциала. Цилиндрический дифференциал обычно находится в полноприводной машине и располагается между осями. Червячный дифференциал универсален, что позволяет размещать механизм как между колесами, так и использовать его в качестве межосевого.

При этом конический дифференциал является наиболее распространенным, а основные элементы его конструкции активно используются в устройстве других типов дифференциалов. По этой причине рассмотрим устройство и принцип работы конического дифференциала на примере.

• Таким образом, упомянутый выше конический дифференциал на самом деле является планетарной передачей. В конструкцию входят полуосевые шестерни и сателлиты, размещенные в корпусе (дифференциале).

Крутящий момент передается на корпус от главной передачи, затем через сателлиты передается на боковые шестерни. К корпусу также крепится главная передача (жесткая установка). В корпусе установлены оси, на осях вращаются сателлиты.

Сами сателлиты, выполняющие функцию планетарной передачи, позволяют корпусу соединяться с боковыми шестернями. Учитывая величину крутящего момента, который необходимо передать, в конструкцию дифференциала можно интегрировать 2 или 4 сателлита.

Солнечные колеса (полуоси) передают крутящий момент на ведущие колеса автомобиля. Передача осуществляется посредством карданного вала, соединение шестерен карданного вала и карданного вала осуществляется шлицами.

Боковые шестерни левые и правые с одинаковым или разным количеством зубьев. Если количество зубьев одинаковое, то это симметричный дифференциал, в устройстве несимметричных дифференциалов используется разное количество зубьев на левой и правой шестернях.

В первом случае симметричный дифференциал позволяет равномерно распределять крутящий момент по оси и независимо от величины угловой скорости ведущих колес.

Дифференциал для установки между колесами (симметричный межосевой дифференциал). Асимметричный дифференциал может распределять крутящий момент в том или ином соотношении. Эта функция позволяет использовать его между ведущими осями.

Теперь перейдем к принципу работы дифференциала. Во-первых, симметричный дифференциал работает в трех основных режимах. Первое — прямая езда, второе — повороты, третье — плохое сцепление с дорогой (грязь, лед и т.).

Когда автомобиль движется прямо, колеса встречают одинаковое сопротивление. Крутящий момент передается от главной передачи на картер дифференциала. Сателлиты движутся вместе с корпусом, который, в свою очередь, передает крутящий момент на ведущие колеса.

С учетом того, что сателлиты не вращаются вокруг своих осей, боковые колеса движутся с одинаковой угловой скоростью, частота вращения левой и правой шестерен равна частоте вращения ведомой главной шестерни.

Однако, если автомобиль входит в поворот, то колесо, расположенное ближе к центру (внутренний привод), нагружается больше и начинает испытывать большее сопротивление, чем внешнее колесо (самое дальнее от центра поворота).

В результате увеличения нагрузки внутренняя шестерня немного замедляет вращение, что приводит к тому, что сателлиты начинают вращаться вокруг своей оси. Такое вращение сателлитов приводит к увеличению частоты вращения внешней шестерни.

• На практике возможность привода колес с разной угловой скоростью позволяет выполнять повороты без заноса.Кстати, крутящий момент по-прежнему равномерно распределяется по ведущим колесам.

Если автомобиль застрял в грязи, снегу или льду, сопротивление одного колеса больше, чем другого. При этом дифференциал (в силу своей конструкции) инициирует ускоренное вращение вращающегося колеса, в то время как другое колесо замедляется.

Однако недостаточное покрытие не позволяет получить высокий крутящий момент на скользящем колесе, а особенность симметричного дифференциала также не позволит создать соответствующий крутящий момент на другом колесе.Зачастую в этом случае машина просто не может продолжать движение дальше.

Решение — увеличить крутящий момент на нескользящем колесе. Для этого дифференциал должен быть заблокирован. По этой причине у внедорожников есть дополнительная возможность блокировки дифференциала, а у легковых автомобилей и даже некоторых современных бюджетных внедорожников эта функция отсутствует.

Читайте также

Устройство и принцип работы механической коробки передач.Типы механических коробок (двухвальные, трехвальные), особенности, отличия

Крутящий момент, приводимый в движение двигателем внутреннего сгорания, передается на колеса различными механизмами - валами, шлицевыми шестернями, дифференциалами. Последние пользуются наибольшей популярностью у любителей экстремальной езды по бездорожью, поскольку участвуют в распределении мощности. Многие водители имеют слабое представление о работе этого узла, поэтому стоит рассмотреть, что такое дифференциал в автомобиле, объяснив его устройство и принцип работы.

Назначение механизма

Чтобы понять роль дифференциала, используемого на всех типах транспортных средств, рассмотрим конструкцию обычного планетарного редуктора, который передает усилие от карданного вала на два карданных вала. Алгоритм агрегата прост:

1. Кардан поворачивает шпиндель с помощью винтовой шестерни на конце.
2. Большая планетарная передача, соединенная с двумя полуосями, вращается от вала.
3. Крутящий момент передается от планетарной передачи на карданные валы и колеса, закрепленные на концах.

Без дифференциала коробка передач равномерно распределяет крутящий момент между 2 осями, чтобы колеса вращались с одинаковой скоростью. Такое разделение вполне подходит для прямолинейного движения, что на самом деле бывает достаточно редко — даже при движении по ровным участкам трассы автомобиль отклоняется от прямой.

Чтобы автомобиль идеально поворачивал за угол, колеса одной оси должны вращаться с разной скоростью, потому что крайние колеса катятся по более широкой дуге.Простая коробка передач, обеспечивающая одинаковое вращение обоих карданных валов, будет приводить к пробуксовке одной шины при повороте, а другой – к пробуксовке, что значительно затрудняет маневрирование автомобиля.

Ссылка. Проблема очень актуальна для внедорожников с постоянным полным приводом. В этом случае крутящий момент распределяется не только между колесами, но и между мостами, вращающими редукторы переднего и заднего мостов.

Дифференциал, соединенный с планетарной передачей, необходим для изменения угловых скоростей правого и левого колес в зависимости от крутизны поворота.Механизм автоматически распределяет крутящий момент на карданный вал, позволяя шинам вращаться с разной скоростью, когда автомобиль движется по кривой. Эксплуатация автомобиля без нормального режима работы дифференциала невозможна по следующим причинам:

• без управления;
• быстрый износ шин;
• Ускоренный износ деталей трансмиссии, валов и карданных валов.

Как работает медленный дифференциал?

Подавляющее большинство машин с передним или задним ведущим мостом оснащены этим типом механизма.В первом случае узел находится внутри коробки передач, во втором — входит в состав планетарной передачи заднего моста.

Конструкция планетарной передачи основана на использовании конических шестерен. Существуют и другие виды автомобильных передач — цилиндрические, коническо-цилиндрические и червячные.

Дифференциал свободного типа позволяет подключаться к конечной передаче. Механизм заднего моста состоит из следующих деталей:

• штифт с конической шестерней, соединенный с карданным валом;
• ведомая планетарная передача;
• корпус ведомой шестерни снабжен двумя выступами, в которые вставляются оси сателлитов;
• конические шестерни-сателлиты;
• зубчатые колеса с приводом от полуосей;
подшипник
• ;
• картер коробки передач.

В легковых автомобилях установлено 2 сателлита, на грузовых автомобилях четыре сателлита.

Предлагается исследовать принцип работы свободного дифференциала на примере:

1. Пока машина едет прямо, колеса поворачиваются с одинаковой скоростью. Шпиндель вращает «планетарку» с прикрепленными к ней сателлитами, причем последние остаются неподвижными и передают равный крутящий момент на обе оси за счет давления на зубья.
2. Автомобиль делает поворот.Сателлиты, вращающиеся вместе с большой шестерней, начинают вращаться вокруг своей оси и в разные стороны.
3. Мощность на валу делится не пополам, а в зависимости от наклона дуги. Благодаря совмещенному вращению сателлитов карданные валы и колеса совершают разное количество оборотов, автомобиль успешно проходит поворот без пробуксовки и заноса резины.

Дифференциал называется медленным дифференциалом, потому что он передает больший крутящий момент на колесо, которое легче поворачивать.Понятно, что при повороте шина внутри кривой сопротивляется вращению, поэтому дифференциал передает больше мощности на другую ось — противоположное колесо крутится быстрее.

Примечание. Автомобили и внедорожники с полным приводом оснащаются тремя силовыми дифференциалами — между осями (расположены в раздаточной коробке) и двумя между колесами.

Свободный механизм решает основную проблему, но создает побочную. При соприкосновении одной шины со скользкой поверхностью - льдом, утрамбованным снегом, грязью начинается занос.Причина в дифференциале, который дает максимальную мощность при наименьшем сопротивлении. Для предотвращения подобных ситуаций многие автомобили имеют временную блокировку дифференциала.

Варианты механизмов

Для избавления от заноса на скользком покрытии или бездорожье производители оснащают автомобили дифференциалами следующих конструкций:

• механизм свободного типа с принудительной фиксацией от привода;
• частичная блокировка дифференциала ограниченного сопротивления;
• самоблокирующаяся червячная передача Torsen.

В первом варианте используется упомянутый выше редуктор, дополнительно оснащенный запорным устройством. Работает система просто: при необходимости водитель включает привод, который приводит спутники в стационарное состояние. Крутящий момент начинает делиться ровно пополам, оси вращаются с одинаковой скоростью, и машина успешно закрывает проблемный участок.

Принудительная блокировка межосевого дифференциала, активируемая разными дисками:

Аналогичные приводные элементы используются для остановки и удержания сателлитов на передней или задней оси.

Производители оснащают дорогие автомобили системой противоскольжения. Он «обманывает» дифференциал по-другому: по сигналу датчика, фиксирующего быстрое вращение одного колеса, электроника дает команду на замедление. Затем сателлиты начинают передавать больше мощности на вторую ось, и машина перестает грести на месте.

Устройство с высоким сопротивлением

Помимо сателлитов, шестерен и приводных шестерен, самоблокирующийся дифференциал включает в себя следующее:

Корпус
• жестко крепится к планетарной передаче;
• комплект фрикционных дисков, устанавливаемых на каждый приводной вал;
щиты из стали
• , выступы которых закреплены в корпусе;
Распорная пружина
• вставлена ​​между коническими шестернями приводного вала.

Стальные и фрикционные диски (аналогичные используемым в сцеплении) устанавливаются поочередно, первый вращается вместе с корпусом, второй - с осями. Коническая шестерня расположена на шлицах оси и способна перемещаться на определенное расстояние. Пружина давит на 2 шестерни противоположной оси.

Частичная блокировка дифференциала происходит следующим образом:

1. На прямой сухой трассе сателлиты неподвижны, а диски вращаются друг относительно друга.
2. При попадании одной шины на скользкий участок начинается занос. Из-за конической формы зубьев шестерни со стороны остановившегося колеса начнут отталкиваться друг от друга.
3. Осевая шестерня будет двигаться и сжимать пакет дисков. Будет создаваться сила трения, заставляющая ось вращаться вместе с телом прямо от «планетарки», минуя сателлиты.

Такое устройство самостоятельно регулирует степень блокировки - чем медленнее поворачивается шина с хорошим сцеплением, тем сильнее сжимаются диски и тем больше выдается крутящий момент.

Самоблокирующиеся шестерни Torsen

Принцип работы этих механизмов основан на одном свойстве червячной пары: шестерня способна передавать вращение на сателлит, но реверс невозможен. Все шестерни, в том числе и сателлиты, выполнены в виде цилиндров с косыми дугообразными зубьями. Всего в механизме используется 3 пары червячных сателлитов, установленных вокруг полуосевых шестерен.

Самоблокирующийся дифференциал работает следующим образом:

1. При прямолинейном движении червячные сателлиты ведут себя аналогично коническим сателлитам - они не вращаются сами по себе, а вращают оси от главной передачи.
2. В вираже увеличится число оборотов одной полуоси и даст вращение парам сателлитов - мощность начнет распределяться по-разному.
3. Поскольку каждая пара сателлитов соединена друг с другом зубчатой ​​передачей, исключается проскальзывание одного колеса. Ось может вращать свой сателлит, она вращает соседний, который уже не может вращать другую полуось. Механизм блокируется автоматически.

Устройство Torsen самое надежное и продвинутое, но слишком дорогое, поэтому устанавливается в автомобилях в максимальной комплектации.Другие используют более доступные механизмы с повышенным трением.

Любители экстремальной езды по бездорожью знают самый простой способ избежать заноса - блокировку заднего дифференциала сваркой. Сателлиты плотно приварены к оси и всегда неподвижны. Правда, такие автомобили предназначены только для езды по земле и снегу — эксплуатировать их на твердом покрытии слишком неудобно и дорого.

КАК РАБОТАЮТ РАЗЛИЧИЯ? 90 226